中国初中数学（七—九年级）知识图谱 · 第一版草稿
用「知识点节点 + 先修边」的有向无环图（DAG）描述人教版初中数学（七上至九下）的知识结构，数据格式参考 Marble os-taxonomy（topics + dependencies）。
状态声明：这是 AI 生成的初稿，未经任何教师审核。 知识点的拆分粒度、掌握标准、诊断题答案，尤其是先修关系（哪些是 hard、哪些是 soft，甚至某条边该不该存在）都需要一线初中数学教师审核后才能用于教学、诊断或学习路径推荐。诊断题答案虽经抽查心算，但没有逐题由人工复核。
数据来源与对齐依据
-
课程标准：教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7—9 年级）的内容范围与学段要求（数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域）。第三轮起，课标第四学段【内容要求】已拆成机器可读条目（
data/cn-curriculum-standards.json，157 条），每个正式知识点通过standards字段挂接 1–3 条（共 383 条映射）；来源、规则、覆盖率与局限见 docs/standards-mapping.md。 -
教材顺序：人民教育出版社（人教版）义务教育教科书数学，采用 2024 年审定的新版。章节目录取自第三方电子课本目录站 dzskb.com（非人教社官方页面），核对情况如下：
册次 采用的目录 核实情况 七上 第一章 有理数 … 第六章 几何图形初步 已核对目录页 七下 第七章 相交线与平行线 … 第十二章 数据的收集、整理与描述 已核对目录页 八上 第十三章 三角形 … 第十八章 分式（2024 审定版） 已核对目录页 八下 第十九章 二次根式 … 第二十四章 数据的分析（2024 审定版） 已核对目录页 九上 第二十五章 一元二次方程 … 第三十章 直线与圆的位置关系（2024 审定版） 已核对目录页 九下 第三十一章 相似；第三十二章 锐角三角函数（章末综合与实践：停车设计问题）；第三十三章 投影与视图（章末综合与实践：建筑中的数学）；第三十四章 随机事件的概率（34.1.1 随机事件，34.1.2 概率，34.2 用列举法求概率，34.3 用频率估计概率） 非官方、待核，详见下方「九下目录的来源与核实情况」 新版教材相对旧版有较大调整（如多边形移入八下“四边形”、反比例函数移入九上、新增“数据的四分位数”“综合与实践”主题、概率由九上移到九下并改名“随机事件的概率”等），本图谱按新版目录处理。
九下目录的来源与核实情况（查证日期：2026-10-17；非官方、待核）
结论：没有找到人教社（pep.com.cn）官方发布的 2024 版九下目录页（官方“新教材介绍”页只介绍编写思路，未列各册章目；pep.com.cn 的“数学 九年级下册”页是旧版封面，页面不显示目录）。九下的 2024 版教材预计 2027 年春季学期才开始使用。下列目录是综合第三方来源后的最可靠推定，并非官方原文，章名、章号请以教材实物或人教社官方目录为准。
| 章 | 采用的章名 | 依据 |
|---|---|---|
| 第三十一章 | 相似 | 来源 A（搜索摘要）；与来源 D 的九上末章“第三十章”衔接 |
| 第三十二章 | 锐角三角函数；章末“综合与实践：停车设计问题” | 来源 A（搜索摘要） |
| 第三十三章 | 投影与视图；章末“综合与实践：建筑中的数学” | 来源 A（搜索摘要） |
| 第三十四章 | 随机事件的概率：34.1.1 随机事件、34.1.2 概率、34.2 用列举法求概率、34.3 用频率估计概率 | 来源 B、C |
来源：
- A：知乎专栏《2024年秋季学期修订人教版初中数学7-9年级教材目录》https://zhuanlan.zhihu.com/p/706262283 。正文需登录无法读取，只看到搜索结果摘要：“九年级下册：第三十一章相似 第三十二章锐角三角函数 综合与实践：停车设计问题 第三十三章投影与视图 综合与实践：建筑中的数学 第三十四章随机……”（摘要在此截断）。
- B：LibreMath 教辅页 https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiuxia-sui-ji-shi-jian-de-gai-lv/ ，标称“人教版（2024 审定）九年级下册第三十四章《随机事件的概率》”，列出 34.1.1—34.3 各小节，并说明 2027 春起使用、章名由“概率初步”改为“随机事件的概率”。第三方教辅，非官方。
- C：21cnjy 新教材九下页的搜索摘要（https://mip.21cnjy.com/mulu/7/326226-2.html ，页面本身抓取超时）：“第三十四章随机事件的概率 34.1 随机事件与概率 34.2 用列举法求概率 ……”，与 B 一致。
- D：电子课本网 dzskb.com 的九上 2024 页 https://www.dzskb.com/rjbsx9sc-2024.html ，九上为第二十五至第三十章（反比例函数已在九上第二十七章），所以九下从第三十一章起，与 A 衔接。
未采用的来源：dzskb.com 标为“2024 审定版（现行）”的九下页 https://www.dzskb.com/rjbsx9sce-2024.html 列出的是“第二十六章 反比例函数 / 二十七 相似 / 二十八 锐角三角函数 / 二十九 投影与视图”，与同站旧版页内容完全相同，且与它自己的九上 2024 页矛盾（反比例函数不可能同时在九上第二十七章和九下第二十六章），判断为误标的旧版目录，不采用。
仍待核的部分：(1) 第三十一至三十三章的小节号没有查到，chapter 字段只写到章，不写小节号；第三十四章小节号来自 B、C。(2) “综合与实践”两项只来自来源 A 的摘要，活动的具体内容未核实，cnm_290、cnm_291 的描述与先修边是按主题名推定的。(3) 章内知识点是沿用第一版的拆分，没有逐节对照新教材。(4) 第三十四章章名“随机事件的概率”来自 B、C 两个第三方来源，来源 A 的摘要被截断。
- 小学先修：18 个外部节点（
cnm_ext_*）按小学数学课程内容概括，只作为图的根，不展开其内部结构。 - 格式参考：已阅读 Marble 的
data/topics.json/data/dependencies.json（节点含type、domain、evidence、assessmentPrompt；边为topicId依赖prerequisiteId）。其中文分支 os-taxonomy-beijing 只读了 README，没有解析它的数据文件。本项目在字段含义上对应关系为：mastery_criteria≈evidence，diagnostic_question≈assessmentPrompt；但文件顶层是裸数组（没有version/topicCount包装），id 为cnm_NNN，也没有centrality、ageRange、standards。
文件
data/topics.json 知识点节点（JSON 数组）
data/dependencies.json 先修边（JSON 数组）
data/cn-curriculum-standards.json 课标第四学段内容要求条目（157 条）
docs/standards-mapping.md 课标对齐说明：来源、映射规则、覆盖率、未映射清单、局限
data/questions.json 题库：每个正式知识点 4–5 题（共 1407 题）
data/verification_report.json 题库答案核验报告（自动核验 + 独立第二遍复核）
data/second_pass_log.json 第二遍复核的裁决与修正记录；data/_second_pass/ 是解题者的原始答案和推导
docs/questions.md 题库格式、核验方法、统计、局限
scripts/validate.py 校验脚本（仅标准库；含题库检查）
scripts/verify_questions.py 题库答案自动核验（受限表达式求值）
scripts/second_pass.py 独立第二遍复核的辅助脚本（出盲解题、比对答案）
CHANGELOG.md 按日期记录的变更日志（含 id 变动说明）
index.html 单文件浏览页面（无外部依赖）
diagnose/ 诊断小工具（纯静态：index.html、engine.js、app.js、style.css、README.md）
tests/test_engine.js 诊断引擎测试（Node，无依赖）
scripts/screenshot.js 无头 Chrome 冒烟测试与截图脚本
screenshots/ 诊断小工具截图（01-start / 02-question / 03-result / 04-graph / 05-explanation）
topics.json 字段
正式知识点（external: false）：
| 字段 | 说明 |
|---|---|
id |
稳定 id，cnm_001 … |
name |
中文名称 |
domain |
数与代数 / 图形与几何 / 统计与概率 / 综合与实践 |
grade |
7 / 8 / 9（整数） |
semester |
"上" 或 "下" |
chapter |
人教版章节，如 七上 第一章 有理数 1.2.1 |
type |
conceptual / procedural / reasoning / application / modeling |
description |
通俗说明（1—2 句） |
mastery_criteria |
2—3 条掌握标准（字符串数组） |
diagnostic_question |
{"question": "...", "answer": "..."} |
external |
false |
standards |
课标映射数组，元素 {"id", "confidence", "note"?}，见下节；可为空数组 |
root_reason |
仅当非外部节点没有任何先修边时必填（本版没有这样的节点，见下） |
外部（小学先修）节点：只有 id、name、domain、grade（固定为 "小学"）、description、external: true，另有 standards: []（本版没有做第三学段课标条目）。
说明：
- 数学里函数归“数与代数”，点的坐标、图形变换归“图形与几何”（与课标领域划分一致）。
- “综合与实践”节点（如
设计学校田径运动会比赛场地）是教材中的主题活动，按modeling处理，诊断题只是对活动中某一数学要点的检查。 一元二次方程根与系数的关系（拓展）：课标要求“了解”（例67），第三轮已据此更正描述；名称里的“（拓展）”保留，其是否作为必学请教师判断。
dependencies.json 字段
{"topicId": "A", "prerequisiteId": "B", "strength": "hard", "reason": "一句中文理由"}含义：A 依赖 B（学 A 之前需要 B）。
hard：不会 B 基本无法学 A；soft：会 B 对学 A 明显有帮助（类比、简化、背景），但不是硬门槛。这个区分是 AI 的主观判断，未经审核。- 只保留直接先修关系，并做了传递约简：
hard边仅在存在另一条全hard路径时才被删除，soft边在存在任何其他路径时即被删除（生成时共剔除 90 条冗余边）。因此若看到某条边“缺失”，通常是已经能由更近的先修推出。 - 由于每个正式知识点最终都能追溯到至少一个小学外部节点，本版没有需要
root_reason的根节点；图的根全部是cnm_ext_*。
当前统计（python3 scripts/validate.py 实际输出）
- 知识点总数 333：正式 315，小学外部 18
- 按领域（正式）：数与代数 142，图形与几何 117，统计与概率 43，综合与实践 13
- 按册次（正式）：七上 61，七下 58，八上 57，八下 57，九上 49，九下 33
- 按类型（正式）：conceptual 102，procedural 101，reasoning 58，modeling 31，application 23
- 先修边 616 条：hard 497，soft 119；其中 53 条指向小学外部节点；正式知识点平均 1.92 条先修
- 未被任何知识点依赖的末端节点 63 个
第二轮迭代（2026-10-17）改了什么
详见 CHANGELOG.md。要点：
- 九下章目核实：去掉所有“（暂拟）”，九下
chapter改为第三十一至三十四章的实际章名（来源与“非官方、待核”说明见上）。原九下 22 个知识点的 id 全部不变；章名由“概率初步”改为“随机事件的概率”，并给概率各点补上 34.1.1/34.1.2/34.2/34.3 小节号。新增两个章末“综合与实践”（cnm_290停车设计问题、cnm_291建筑中的数学）。 - 统计与概率加厚：领域“统计与概率”正式知识点由 20 增至 43（新增 23）。分布：七下 17、八下 12、九下 14。七上、八上、九上在新版教材里没有统计与概率章，所以没有硬凑。另有 3 个相关的“综合与实践”（
cnm_109、cnm_218原有，cnm_315新增），不计入上面的 43。 - 边：新增 50 条（含统计新点的先修边及
cnm_288←cnm_297等连接原有统计点的边），删除 1 条冗余边（cnm_288←cnm_106，已可经新增的cnm_297到达）；原有 287 条理由少于 8 个汉字的边，再加 79 条仍只有短语的边，共 366 条理由改写成完整一句话（最短的也有 9 个汉字以上）。 - 没有改动
scripts/validate.py。
课标对齐（第三轮）
- 课标条目：
data/cn-curriculum-standards.json，教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段【内容要求】共 157 条：数与代数 49、图形与几何 92、统计与概率 13、综合与实践 3。id 形如cms-2022:4.NA.01（NA 数与代数、GG 图形与几何、SP 统计与概率、IP 综合与实践），条文是课标原文，来自教育部官网 PDF。 - 知识点映射：每个正式知识点的
standards数组为{"id": "cms-2022:4.NA.17", "confidence": "exact"|"inferred", "note": "..."}；exact 表示条款正文直接点名，inferred 表示前提、特例、延伸或教材细化，必须写 note。 - 覆盖率：315 个正式知识点中 313 个（99.4%） 有映射；2 个未映射（
cnm_130辅助线与模型、cnm_192折叠与动点问题）。另有 15 条课标条款没有对应知识点（多为作图、欣赏类和选学内容），列在文档里。 - 全部说明（来源与 URL、检索日期、映射规则、覆盖率、未映射清单、已知局限）见 docs/standards-mapping.md。映射由 AI 生成，未经课程专家审核。
- 小学外部节点的
standards为空数组，没有建第三学段（cms-2022:3.*）条目。 STRICT_STANDARDS=1 python3 scripts/validate.py会把“正式知识点 standards 为空”当作错误；默认只打印警告。
统计与概率知识点的教材落册（第二轮后）
- 七下 第十二章（17 个）：调查方式与样本（
cnm_102—cnm_104、cnm_298、cnm_299、cnm_300），数据整理与统计图（cnm_105、cnm_292—cnm_297），直方图与趋势图（cnm_106—cnm_108、cnm_301）。 - 八下 第二十四章（12 个）：平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、四分位数、分组数据及新增的样本估计总体、极端值、方差比较、箱线图。
- 九下 第三十四章（14 个）：随机事件、概率意义、列举法、列表法与树状图、频率估计概率、游戏公平性，以及新增的可能性排序、概率性质、等可能判断、放回与不放回、三步树状图、实际估计、统计图表综合、误解辨析。
- 小节号（如 12.1.2、24.2）是按第一版已有标注推定的，没有逐节核对新教材。新增的
cnm_305（箱线图）是否为教材必学内容、cnm_315（用随机试验检验游戏的公平性）是补充课题，均已在描述里标明，请教师取舍。
诊断小工具（第四轮；第五轮改为每个知识点最多 2 题）
diagnose/ 是一个基于上述数据的静态、可离线的诊断页面：选一个目标知识点（或整个章节），按先修关系自适应出题（第一题答对则掌握并跳过全部祖先；答错则再出一道同级或更容易的题——第二题也错才算薄弱并回溯到先修，hard 先于 soft；第二题答对标为「不稳」，不回溯），给出薄弱的根因、不稳的知识点、按拓扑序排列的学习路径、相关课标条目原文和一张纯 SVG 路径图；每题作答后显示解析和参考答案；进度保存在 localStorage，可导出 JSON 或打印。核心算法与判题在 diagnose/engine.js（纯函数，浏览器与 Node 通用），由 node tests/test_engine.js 测试。
python3 -m http.server 8000 # 访问 http://localhost:8000/diagnose/ （演示：?target=cnm_221&demo=1） node tests/test_engine.js # 引擎测试 node scripts/screenshot.js # 冒烟测试 + 截图（需要本机 Chrome）
算法说明、判题规则、URL 参数与局限见 diagnose/README.md；浏览页 index.html 右上角也有入口。每个知识点最多问 2 题，诊断结果只是线索。
题库（第五轮）
data/questions.json：给 315 个正式知识点各建 4–5 道题，共 1407 题；topics.json 里原有的 diagnostic_question 迁移为每个知识点的第 1 题（id 后缀 _q1），原字段保留不动。
| 统计 | 数量 |
|---|---|
| 按 type | numeric 903，choice 475，short 23，self 6（numeric + choice 占 97.9%） |
| 按 difficulty | basic 591，standard 537，advanced 279（每个知识点都含 basic 和 standard） |
| 每知识点题数 | 最少 4，最多 5，平均 4.47（4 题 × 168，5 题 × 147） |
自动核验（verify 表达式） |
875 题通过，mismatch 0，unverifiable 532（主要是文字选项的选择题） |
| 独立第二遍复核 | 1401 题盲解比对，原始不一致 3 处（全是解题者算错），发现并修正答案错误 0 处，另改 4 处含糊题干 + 1 处错误解析；second_pass_mismatch = 0 |
python3 scripts/verify_questions.py # 自动核验，写 data/verification_report.json；mismatch 为 0 才打印 VERIFICATION PASSED python3 scripts/validate.py # 含题库格式检查与题量统计
题目与答案全部由 AI 生成、未经教师审核，复核者与出题者是同一模型家族；格式、核验方法、统计与局限见 docs/questions.md。
已知局限
- 审核缺位：见开头状态声明；先修关系、hard/soft 强度、诊断题难度与区分度都没有经过教师或学生数据检验。
- 覆盖不均：统计与概率现为 43 个，但全部集中在七下、八下、九下三册（新教材只在这三册安排统计与概率，不含七上、八上、九上）；九下目录为第三方来源推定，非官方、待核（见上）；教材中的“阅读与思考”“数学活动”“小结”“信息技术应用”等栏目没有单独成点，仅少数“综合与实践”“探究与发现”并入。
- 粒度不统一：个别知识点（如各类应用题）按题型归并，个别（如三角形全等的各判定）拆得较细，需按实际教学再调。
- 题库很小：每个知识点 4–5 题、诊断时最多问 2 题，题与答案由 AI 生成、未经教师审核，难度与干扰项没有学生数据校准，不能代替完整测评。
- 按教材顺序推断：部分先修边（如命题、定理类内容）反映的是教材编排而非严格逻辑依赖，已尽量标为
soft。
运行校验
python3 scripts/validate.py
检查：JSON 合法；id 唯一；必填字段齐全；domain/type/strength 取值合法；每条边的两端都存在；无自环、无重复边；无环（有环时打印环路）；每个非外部知识点要么有先修边要么有 root_reason；没有完全孤立的节点。并打印按领域、按册次的数量以及边数、hard/soft 数。第三轮新增：standards 引用的课标 id 必须存在于 data/cn-curriculum-standards.json，confidence 只能是 exact/inferred，课标文件自身的 id 格式与编号连续性；并打印课标条目数、映射覆盖率；正式知识点 standards 为空时只打印警告（至多 30 个），设置 STRICT_STANDARDS=1 才视为错误。全部通过时输出 VALIDATION PASSED 且退出码为 0，否则输出错误并以非 0 退出。
打开浏览页面
页面通过 fetch 读取 data/*.json，浏览器不允许直接用 file:// 打开，请在本目录启动一个静态服务器：
python3 -m http.server 8000
# 然后访问 http://localhost:8000/功能：左侧可按学科、年级/册次、类型筛选并搜索（名称、描述、章节）；可勾选是否显示小学先修节点。点击知识点后显示描述、掌握标准、诊断题（答案默认折叠）、先修链（向上递归，树状或分层列表两种视图，边上标注硬/软先修及理由），以及它是哪些后续知识点的先修。地址栏 #cnm_219 形式的 hash 可直接定位到某个知识点。
后续建议
- 请初中数学教师先审先修边（尤其是 hard 边），并用教材实物或人教社官方目录核对九下的章名、章号和小节号。
- 请课程专家审核
standards映射（尤其 inferred），并考虑为 15 条无对应知识点的课标条款补点；再补充每个知识点的常见错误、典型例题。 - 用真实学生答题数据校准诊断题与先修强度。
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